高等代数的教学设计—以欧式除法为例

高等代数的教学设计—以欧式除法为例

吴晗

湖北大学数学与统计学学院, 湖北武汉

摘要：高等代数是高等院校数学专业的一门重要的基础课程。通过这一课程的教学，使学生系统地掌握一元多项式和线性代数基础理论和基本方法，提高学生数学抽象、逻辑推理、发现问题、解决问题的能力。本文以欧式除法为例介绍高等代数课堂教学设计。

1 引言

18、19 世纪数学家们经过不懈、深入的研究，使得高等代数成为现代数学的基石之一。目前，高等代数是高等院校数学专业的一门重要的基础课程，为解析几何、高等几何、抽象代数、微分方程、泛函分析等后继课程提供所需的基础理论和知识。此课程包括一元多项式理论和线性代数理论两部分，参看[1, 2]。该课程为培养学生坚实的数学基础与深厚的数学核心素养奠定基础，培养学生大胆质疑、独立思考、批判反思的数学精神。通过该课程教学，使学生系统地掌握一元多项式和线性代数基础理论和基本方法，提高学生数学抽象、逻辑推理、发现问题、解决问题的能力。

此课程是中学代数知识体系的继续与提高。我们采取的数学思维方式一般为：对研究对象进行观察，与以往知识进行类比，进行合理的猜测，最后给出猜测的详细论证；并将这一数学思维方式应用到高等代数的教学设计中去。与[3]采用的教学设计方案相比，该教学设计方案更容易让学生接受新的内容，更能培养学生发现问题、解决问题的能力，也极大提高了教学效率。

欧式除法，也称带余除法，是高等代数中一元多项式理论的基础，它是欧几里得整环所特有的性质。利用欧式除法可以判定两多项式是否整除，以及求两多项式的最大公因式。一元多项式环和整数环都是欧几里得整环，都可以做欧式除法。而整数的欧式除法在小学就已经很熟知，因此可以通过类比进行一元多项式欧式除法的教学设计。本文以欧式除法为例阐述该教学设计理念。通过本节课，学生能够理解、掌握一元多项式的欧式除法，能够用数学归纳法进行相关命题的证明。通过两多项式与两整数进行类比，学生可以猜测两多项式的最大公因式存在，以及尝试用数学归纳法证明它的存在性。

7 结论

本节课的教学内容是一元多项式的欧式除法。采取的数学思维方式为：对研究对象进行观察，与以往知识进行类比，进行合理的猜测，最后给出猜测的详细论证。通过这堂课的学习，学生们能够用欧式除法求商式和余式，能够用数学归纳法写证明过程。能力方面，提高学生通过类比发现问题，进行猜测，解决问题的能力，提高学生的数学素养。

致谢

作者感谢湖北大学数学与统计学学院为他提供高等代数课程教学平台，感谢国家自然科学青年基金项目: 12301014 和湖北省自然科学青年基金项目: 2023AFB282 的支持，感谢 2024 年湖北大学教学改革研究项目：用人工智能赋能高校数学教学 (2024) 的支持。本文的完成得益于相关文献、著作对本文的启发以及审稿专家的宝贵建议。